Question

飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排三個(gè)救援中心（記為A，B，C），B在A的正東方向，相距6km，C在B的北偏東30°，相距4km，P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻A接到P的求救信號(hào)，由于B、C兩地比A距P遠(yuǎn)，因此4s后，B、C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)，已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s．
（1）求A、C兩個(gè)救援中心的距離；
（2）求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角；
（3）若信號(hào)從P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)處發(fā)出，則A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變大還是變小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）首先以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出A，B，C的坐標(biāo)，然后求出AC的距離即可．
（2）根據(jù)|PC|=|PB|得出P在BC線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，建立雙曲線(xiàn)方程，并求出∠PAB．
（3）設(shè)|PQ|=h，|PB|=x，|PA|=y，建立不等式，并求解，得到A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變小

解答：解：（1）以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A(-3，0)，B(3，0)，C(5，2

3

)
則|AC|=

(5+3)2+(2 3 )2

=2

19

km
即A、C兩個(gè)救援中心的距離為2

19

km

（2）∵|PC|=|PB|，所以P在BC線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上
又∵|PB|-|PA|=4，所以P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支上，且|AB|=6
∴雙曲線(xiàn)方程為

x2

4

-

y2

5

=1 (x＜0)
BC的垂直平分線(xiàn)的方程為x+

3

y-7=0
聯(lián)立兩方程解得：x=-8∴P(-8，5

3

)，kPA=tan∠PAB=-

3

∴∠PAB=120°所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏西30°處

（3）如圖，設(shè)|PQ|=h，|PB|=x，|PA|=y
∵|QB|-|QA|=

x2+h2

-

y2+h2

=

x2-y2

x2+h2 + y2+h2

=(x-y)•

x+y

x2+h2 + y2+h2

又∵

x+y

x2+h2 + y2+h2

＜1
∴|QB|-|QA|＜|PB|-|PA|∴

|QB|

1

-

|QA|

1

＜

|PB|

1

-

|PA|

1

即A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變小

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)方程的應(yīng)用，涉及到解空間幾何體的方法，通過(guò)對(duì)雙曲線(xiàn)知識(shí)與立體幾何知識(shí)的糅合，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，屬于中檔題．