Question

如圖，四棱錐P-ABCD 中，底面ABCD 為矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)。

(1)求直線AD與平面PBC的距離；
(2)若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

Answer 1

解：(1) 如圖，在矩形ABCD 中，ADBC，從而AD平面PBC ，故直線AD 與平面PBC 的距離為點(diǎn)A 到平面  PBC 的距離．
因PA⊥底面ABCD ，故PA ⊥AB ，
由PA=AB 知△PAB 為等腰直角三角形，
又點(diǎn)E 是棱PB 的中點(diǎn)，故AE ⊥PB.
又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，而AB 是PB 在底面ABCD 內(nèi)的射影，
由三垂線定理得BC⊥PB ，從而BC⊥平面PAB ，
故BC⊥AE，從而AE ⊥平面PBC ，
故AE 的長即為直線AD與平面PBC的距離．
在Rt △PAB 中，PA=AB=，
所以
即直線AD與平面PBC的距離為
(2)過點(diǎn)D作DF⊥CE，交CE于F，過點(diǎn)F作FG⊥CE，交AC于G，
則∠DFG為所求二面角的平面角．
由(1)知BC⊥平面PAB，
又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，
故AD⊥AE，從而DE=
在Rt△CBE中，CE=又，
所以△CDE為等邊三角形，
故點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，且DF=CD·
因?yàn)锳E⊥平面PBC，
故AE⊥CE，
又FG⊥CE，
所以，從而，
且點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．連結(jié)DC．
則在Rt△ADC中，
所以cos∠DFG=
即二面角A-EC-D的平面角的余弦值為