Question

（2009•武昌區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）（x∈R）的一段圖象如圖所示，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且y=f（x+1）是奇函數(shù)，給出以下結(jié)論：
①f（1-x）+f（1+x）=0；
②f′（x）（x-1）≥0；
③f（x）（x-1）≥0；
④

lim

x→0

f(x)=f(0)
其中一定正確的是（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：y=f（x+1）是奇函數(shù)，y=f（x+1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱．f（1-x）+f（1+x）=0，故①正確，由函數(shù)在x=0處有意義知④正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值得到②③不正確．

解答：解：解：∵y=f（x+1）是奇函數(shù)，
∴y=f（x+1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱．
∴f（1-x）+f（1+x）=0，故①正確；
由函數(shù)圖象可知函數(shù)在x=0處有意義，
所以

lim

x→0

f(x)=f(0)．④正確；
∵f′（x）是函f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
函數(shù)的圖象是單調(diào)遞增的，
∴f′（x）恒大于0，
∴f′（x）（x-1）≥0不正確，即②不正確；
f（x）（x-1）≥0不正確；
綜上可知只有①④正確．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了極限及其運(yùn)算，考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)圖象間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．