Question

沿著圓柱的一條母線將圓柱剪開，可將側(cè)面展到一個平面上，所得的矩形稱為圓柱的側(cè)面展開圖，其中矩形長與寬分別是圓柱的底面圓周長和高（母線長），所以圓柱的側(cè)面積S=2πrl，其中r為圓柱底面圓半徑，l為母線長，現(xiàn)已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱．
（1）求圓柱的側(cè)面積；
（2）x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分析圓錐的高與底面半徑的關(guān)系，可得圓柱的側(cè)面積．
（2）由（1）中圓柱側(cè)面積的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答： 解：（1）設內(nèi)接圓柱底面半徑為r
由三角形相似得

r

R

=

H-x

H

，
所以r=

(H-x)R

H

，
S_{圓柱側(cè)}=2π

(H-x)R

H

•x=

2πR

H

（-x²+Hx）（0＜x＜H）．
（2）S_{圓柱側(cè)}=

2πR

H

（-x²+Hx）=

2πR

H

•[-（x-

H

2

）²+

H2

4

]，又0＜x＜H，
所以當x=

H

2

時，S圓柱側(cè)最大=

1

2

πRH．

點評：本題考查圓柱的表面積，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．