Question

【題目】某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷(xiāo)售量y（單位：千克）與銷(xiāo)售價(jià)格x（單位：元/千克）滿(mǎn)足關(guān)系式：y= +10（x﹣6）2 ， 其中3＜x＜6，a為常數(shù)，已知銷(xiāo)售的價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可以售出該商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閤=5時(shí)，y=11，

y= +10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．

所以 +10=11，故a=2；

（2）解：由（1）可知，該商品每日的銷(xiāo)售量y= +10（x﹣6）2，

所以商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)為f（x）=（x﹣3）[ +10（x﹣6）2]

=2+10（x﹣3）（x﹣6）2，3＜x＜6．

從而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4），

于是，當(dāng)x變化時(shí)，f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	單調(diào)遞增	極大值42	單調(diào)遞減

由上表可得，x=4是函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．

所以，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值等于42．

答：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大

【解析】（1）由x=5時(shí)，y=11，代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；（2）商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)=每日的銷(xiāo)售量×銷(xiāo)售該商品的單利潤(rùn)，可得日銷(xiāo)售量的利潤(rùn)函數(shù)為關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得出最大值對(duì)應(yīng)的x值．