已知數(shù)列{an}滿足an+1=
an-2
2an-3
，n∈N*，a1=
1
2
．
（Ⅰ）計(jì)算a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想數(shù)列的通項(xiàng)an，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
分析：（Ⅰ）由遞推公式，令n=2，3，4易得；
（Ⅱ）通過a2，a3，a4猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，要注意分兩步證明．
解答：解：（Ⅰ）由遞推公式，得a2=
a1-2
2a1-3
=
1
2
-2
2•
1
2
-3
=
3
4
，（3分）
（Ⅱ）猜想：an=
2n-1
2n
．（5分）
證明：①n=1時(shí)，由已知，等式成立．（6分）
②設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，等式成立．即ak=
2k-1
2k
．（7分）
所以ak+1=
ak-2
2ak-3
=
2k-1
2k
-2
2•
2k-1
2k
-3
=
2k-1-4k
4k-2-6k
=
2k+1
2k+2
=
2(k+1)-1
2(k+1)
，
所以n=k+1時(shí)，等式成立．（9分）
根據(jù)①②可知，對(duì)任意n∈N*，等式成立．即通項(xiàng)an=
2n-1
2n
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查推理和數(shù)學(xué)歸納法的證明方法及思路．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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