Question

設(shè)是實(shí)數(shù)，函數(shù)（）．
（1）求證：函數(shù)不是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，求滿足的的取值范圍；
（3）求函數(shù)的值域（用表示）．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是． 

試題分析：（1）要證明函數(shù)不是奇函數(shù)，可用定義證，也可用其必要條件證，實(shí)質(zhì)上證明否定性命題，只要舉一個(gè)反例即能說明，本題上中，就說明不是奇函數(shù)了；（2）由于，函數(shù)式中的絕對(duì)值符號(hào)可去掉，即，本題就是解關(guān)于的不等式，變形得，由于恒成立，因此，即，這是應(yīng)該分兩種情況和分別求解；（3）本題要求函數(shù)的值域，一個(gè)要用換元法把指數(shù)式轉(zhuǎn)化為一般的代數(shù)式，其次要能夠?qū)^對(duì)值進(jìn)行處理（實(shí)質(zhì)是分類討論，分段函數(shù)），設(shè)，則，原函數(shù)變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044054342620.png" style="vertical-align:middle;" />，由（1）的結(jié)論知當(dāng)時(shí)，有，值域可求，當(dāng)時(shí)函數(shù)為注意分段求解，每一個(gè)都是二次函數(shù)在給定區(qū)間上求值域，最后還要適當(dāng)合并，得出結(jié)論．時(shí)，，是增函數(shù)，則有，當(dāng)時(shí)，，還要分和兩類情況討論．
試題解析：（1）假設(shè)是奇函數(shù)，那么對(duì)于一切，有，
從而，即，但是，矛盾．
所以不是奇函數(shù)．（也可用等證明）     （4分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044054701459.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以當(dāng)時(shí)，，由，得，即，，（2分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044054841535.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即．  （3分）
①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，故的取值范圍是；（4分）
②當(dāng)，即時(shí)，由，得，故的取值范圍是．          （6分）
（3）令，則，原函數(shù)變成．
①若，則在上是增函數(shù)，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044053968569.png" style="vertical-align:middle;" />．（2分）
②若，則   （3分）
對(duì)于，有，當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的減函數(shù)，的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．  （5分)
對(duì)于，有是關(guān)于的增函數(shù)，
其取值范圍．                  （7分）
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是．  （8分）