Question

已知函數f（x）=e^x-mx
（1）當m=1時，求函數f（x）的最小值；
（2）若函數g（x）=f（x）-lnx+x²存在兩個零點，求m的取值范圍；
（3）證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

Answer 1

分析：（1）當m=1時，f′（x）=e^x-1，當x＜0時，f′（x）＜0，當x＞0時，f′（x）＞0，由此能求出當m=1時，函數f（x）的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，得m=

ex-lnx+x2

x

，令h（x）=

ex-lnx+x2

x

，由此能求出函數g（x）=f（x）-lnx+x²存在兩個零點時m的取值范圍．
（3）由（1）可得e^x≥x+1，令x=1=

k

n

，則x=

k

n

-1，從而e k-n≥(

k

n

)n，分別令k=1，2，3，..，n．利用等比數列求和公式和放縮法，可證明結論．

解答：解：（1）當m=1時，f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
當x＜0時，f′（x）＜0，
當x＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（x）=1．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，
得m=

ex-lnx+x2

x

，
令h（x）=

ex-lnx+x2

x

，
則h′（x）=

(x-1)ex+lnx+x2-1

x2

，
觀察得x=1時，h′（x）=0．
當x＞1時，h′（x）＞0，
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（1）=e+1，
∴函數g（x）=f（x）-lnx+x²存在兩個零點時m的取值范圍是（e+1，+∞）．
（3）由（1）知e^x-x≥1，∴e^x≥x+1，令x=1=

k

n

，則x=

k

n

-1，
∴e 

k

n

-1≥

k

n

，∴e k-n≥(

k

n

)n
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

n

)n≤e^1-n+e^2-n+…+1=

1-( 1 e )n

1- 1 e

＜

e

e-1

所以(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

n

)n＜

e

e-1

．        （14分）

點評：本題考查函數最小值的求法、函數存在兩個零點時求m的兩個取值范圍、等比數列求和公式，用放縮法證明不等式．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的應用．