Question

已知f（x）=ax-ln（-x），x∈（-e，0），，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）討論a=-1時(shí)，f（x）的單調(diào)性、極值；
（2）求證：在（1）的條件下，．
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a(bǔ)=-1代入f（x）=ax-ln（-x），求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，可得f（x）的單調(diào)性、極值；
（2）由（1）知f（x）在[-e，0）的最小值為1，要證，只需證的最大值小于1即可，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值；
（3））假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-ln（-x）有最小值3，x∈[-e，0），求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程得到的方程的根是否在定義域（-e，0）內(nèi)進(jìn)行討論，從而求得結(jié)果．
解答：解：（1）∵f（x）=-x-ln（-x）
∴當(dāng)-e≤x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）為單調(diào)遞減
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）為單調(diào)遞增
∴f（x）的極小值為f（-1）=1
（2）∵f（x）的極小值，即f（x）在[-e，0）的最小值為1
∴|f（x）|_min=1
令
又∵
當(dāng)-e≤x＜0時(shí)h′（x）≤0，h（x）在[-e，0）上單調(diào)遞減
∴
∴當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-ln（-x）有最小值3，x∈[-e，0）
①當(dāng)時(shí)，由于x∈[-e，0），則
∴函數(shù)f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函數(shù)
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-1=3
解得（舍去）
②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，
此時(shí)f（x）=ax-ln（-x）是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f（x）=ax-ln（-x）是增函數(shù)
∴
解得a=-e²
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值問題．對(duì)方程f'（x）=0根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，和轉(zhuǎn)化思想，其中問題（3）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．