已知矩陣M=
2a
21
，其中a∈R，若點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P'（-4，0）
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求矩陣M的特征值及其對應的特征向量．
分析：（1）點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P'（-4，0），利用二階矩陣與平面列向量的乘法可求實數(shù)a的值；
（2）先求矩陣M的特征多項式f（λ），令f（λ）=0，從而可得矩陣M的特征值，進而可求特征向量．
解答：解：（1）由
2a
21
1
-2
=
-4
0
，∴2-2a=-4⇒a=3．
（2）由（1）知M=
23
21
，則矩陣M的特征多項式為f(λ)=
.
λ-2-3
-2λ-1
.
=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為-1與4．
當λ=-1時，
(λ-2)x-3y=0
-2x+(λ-1)y=0
⇒x+y=0
∴矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為
1
-1
；
當λ=4時，
(λ-2)x-3y=0
-2x+(λ-1)y=0
⇒2x-3y=0
∴矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為
3
2
．
點評：本題主要考查二階矩陣與平面列向量的乘法，考查矩陣M的特征值及其對應的特征向量． 關鍵是寫出特征多項式，從而求得特征值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知矩陣M=
2a
21
，其中a∈R，若點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P'（-4，0）
（i）求實數(shù)a的值；
（ii）求矩陣M的特征值及其對應的特征向量．
（2）在平面直角坐標系xOy中，動圓x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0（a∈R）的圓心為P（x0，y0），求2x0-y0的取值范圍．
（3）已知a，b，c為實數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a2+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
①求證：a2+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
②求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）選修4-2矩陣與變換：
已知矩陣M=
.
2a
21
.
，其中a∈R，若點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P′（-4，0）．
①求實數(shù)a的值；
②求矩陣M的特征值及其對應的特征向量．
（2）選修4-4參數(shù)方程與極坐標：
已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是
x=
2
2
t+m
y=
2
2
t
（t是參數(shù)）．若l與C相交于AB兩點，且AB=
14
．
①求圓的普通方程，并求出圓心與半徑；
②求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知矩陣M=
2a
21
，其中a∈R，點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P′（-4，0），則實數(shù)a=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知矩陣M=
2a
21
，其中a∈R，點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P′（-4，0），則實數(shù)a=______．

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