Question

20．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義法證明；
（2）若a=1，求f（-5）+f（-3）+f（-1）+f（1）+f（3）+f（5）的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可；
（2）求出f（-x）+f（x）=0，求出函數(shù)值即可．

解答 （1）證明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，證明如下：
設(shè)任意的x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0，則 $\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）a=1時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
而f（x）+f（-x）=0，
故f（-5）+f（-3）+f（-1）+f（1）+f（3）+f（5）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的證明方法：定義法，以及利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值問(wèn)題，屬于中檔題．