Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x²+y²+4y-96=0，有下列結(jié)論：
①x+y的最小值為-10

2

-2；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)m，方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）與題中方程必有兩組不同的實(shí)數(shù)解；
③過(guò)點(diǎn)M（0，18）向題中方程所表示曲線作切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為y=3；
④若x，y∈N^*，則xy的值為36或32．
以上結(jié)論正確的有

 

（用序號(hào)表示）

Answer 1

分析：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的參數(shù)方程，由x+y=-2+10

2

sin（θ+45°）≥-2-10

2

，故①正確．
方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0表示過(guò)點(diǎn)（0，8）的直線系，而點(diǎn)（0，8）在圓的外部，故直線和圓可能相切、相離．
由圓的對(duì)稱性、切線的對(duì)稱性知，A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，求出點(diǎn)M到AB的距離為15，故AB的方程為 y=18-15=3．
利用圓x²+（y+2）²=100上的坐標(biāo)為正整數(shù)點(diǎn)有（6，6），（8，4），從而得到x，y∈N^*時(shí)xy的值．

解答：解：方程x²+y²+4y-96=0 即 x²+（y+2）²=100，表示以（0，-2）為圓心，以10為半徑的圓．
令x=10cosθ，y=-2+10sinθ，有x+y=-2+10

2

sin（θ+45°）≥-2-10

2

，故①正確．
方程（m-2）x-（2m+1）y+16m+8=0（m∈R） 即 m（x-2y+16）-（2x+y-8）=0，表示過(guò)x-2y+16=0 與
2x+y-8=0交點(diǎn)（0，8）的直線系，而點(diǎn)（0，8）在圓的外部，故有的直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，有的直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，
有的直線和圓沒(méi)有有交點(diǎn)，故②不正確．
過(guò)點(diǎn)M（0，18）向題中方程所表示曲線作切線，切點(diǎn)分別為A，B，由圓的對(duì)稱性、切線的對(duì)稱性知，A，B關(guān)于y軸
對(duì)稱．切線MA=

202-102

=10

3

，MA 與y軸的夾角為30°，點(diǎn)M到AB的距離為MA•cos30°=15，
故AB的方程為 y=18-15=3，故③正確．
圓x²+（y+2）²=100上的坐標(biāo)為正整數(shù)點(diǎn)有（6，6），（8，4），若x，y∈N^*，則xy的值為36或32，故④正確．
綜上，①③④正確
，故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查元的標(biāo)準(zhǔn)方程，參數(shù)方程，直線系方程，切線長(zhǎng)的計(jì)算方法，判斷②不正確是解題的難點(diǎn)．