Question

已知橢圓C₁：

x2

a

+

y2

9

=1與拋物線C₂：y=x²-b
（1）若拋物線C₂經(jīng)過(guò)橢圓C₁的焦點(diǎn)，且兩曲線恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求橢圓C₁與拋物線C₂的方程；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a，b滿足什么關(guān)系式，橢圓C₁與拋物線C₂有四個(gè)不同的交點(diǎn)？并證明這四個(gè)交點(diǎn)共圓．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意得出焦點(diǎn)為：F₁（-

a-9

，0），F(xiàn)₂（

a-9

，0），（0，-3）在拋物線上，可代入求解即可．
（2）得出橢圓C₁與拋物線C₂有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

-b＜-3 ( a) 2-b＞0

即a＞b＞3，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明即可．

解答： 解：（1）拋物線C₂：y=x²-b，橢圓C₁：

x2

a

+

y2

9

=1，
∵拋物線C₂經(jīng)過(guò)橢圓C₁的焦點(diǎn)，且兩曲線恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴可判斷：焦點(diǎn)為：F₁（-

a-9

，0），F(xiàn)₂（

a-9

，0），（0，-3）在拋物線上，
∴-3=0-b，
即b=3，
（

a-9

）²-3=0，a=12，
∴橢圓C₁

x2

12

+

y2

9

=1，拋物線C₂的方程為：y=x²-3，
（2）∵橢圓C₁與拋物線C₂有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴

-b＜-3 ( a) 2-b＞0

即a＞b＞3，
當(dāng)a＞b＞3時(shí)，橢圓C₁與拋物線C₂有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

根據(jù)對(duì)稱性可知，四邊形ABDC為等腰梯形，
AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
∠A=∠B，∠C=∠D，
∴∠A+∠D=180°，
對(duì)角互補(bǔ)
∴四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，方程的求解與運(yùn)用，屬于綜合題，難度較大．