Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD，BE∥AF.

（Ⅰ）證明：C、D、F、E四點(diǎn)共面：

（Ⅱ）設(shè)AB=BC=BE，求二面角A-ED-B的大小.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由BCAD得

　　　　　

　　　延長(zhǎng)FE交AB的延長(zhǎng)線于，

　　　同理可得

　　　　

故即與G重合.

因此直線CD、EF相交于點(diǎn)G，即C、D、F、E四點(diǎn)共面.

（Ⅱ）設(shè)AB=1，則BC=BE=1，AD=2.

取AE中點(diǎn)M，則BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF.

故AD⊥BM，BM與平面ADE內(nèi)兩相交直線AD、AE都垂直.

所以BM⊥平面ADE.作MN⊥DE，垂足為N，連結(jié)BN.

由三垂線定理知BN⊥ED，為二面角A—ED—B的平面角.

　　　　　

故

所以二面角A—DE—B的大小為

解法二：

由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得FA⊥平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

射線AB為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A-xyz.

 

（Ⅰ）設(shè)AB=a,BC=b,BE=c,則

      B(a,0,0)、C（a,b,0）、E（a,0,c）.

      D(0,2b,0)、F (0，0，2c).

     

 故，從而由點(diǎn)，得

EC∥FD.

故C、D、F、E四點(diǎn)共面.

（Ⅱ）設(shè)AB=1，則BC=BE=1，則

  B (1,0,0)，C(1，1，0)，D（0，2，0），

E(1，0，1).

在DE上取點(diǎn)M，使，則

，

從而　，

又MB⊥DE.

在DE上取點(diǎn)N，使，則

從而　　NA⊥DE.

故與的夾角等于二面角A—DE—B的平角角，

所以二面角A—DE—B的大小為