Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點，，且，證明：．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】分析：（1）對m分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)先求出，再構造函數(shù)，，求它的范圍.

詳解：（1）函數(shù)定義域為，且，，

令，，

當，即時，，∴在上單調(diào)遞減；

當，即時，由，解得，，

若，則，∴時，，單調(diào)遞減；

時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；

若，則，∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；

綜上所述：時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；

時，的單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）因為函數(shù)定義域為，且，

∵函數(shù)存在兩個極值點，∴在上有兩個不等實根，，

記，則∴，

從而由且，可得，，

∴ ，

構造函數(shù)，，

則，

記，，則，

令，得（，故舍去），

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，，

∴當時，恒有，即，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，即，

∴．