Question

已知函數，它在原點處的切線恰為x軸．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明：當x＞0時，f（x）＞0；
（3）證明：．

Answer 1

解：（1）由題意得，
f′（x）=-，
由于函數在原點處的切線恰為x軸．
∴f′（0）=0，即1-=0，
∴a=2．
∴f（x）的解析式f（x）=ln（1+x）-，
（2）當x≥0時，f′（x）=，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，且f（0）=0，
∴當x＞0時，f（x）＞f（0）=0，
即當x＞0時，f（x）＞0．
（3）由（2）知，當x＞0時，ln（1+x）＞，
∴l(xiāng)n2＞，ln3＞，ln4＞，…，lnn＞，（n≥2），
以上各式相乘，得，
從而結論成立．
分析：（1）先根據題意求出函數的導數f′（x），再利用導數的幾何意義得f′（0）=0，從而求出a值，最后寫出f（x）的解析式；
（2）當x≥0時，f′（x）=，利用導數與單調性的關系得f（x）在[0，+∞）上是增函數，且f（0）=0，即可證得結論；
（3）由（2）知，當x＞0時，ln（1+x）＞，分別令x=1，2，3，…，n．得到n個不等關系，再將以上各式相乘即得．
點評：本小題主要考查導數的幾何意義、函數單調性的應用、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．