Question

給定正整數(shù)，若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：對(duì)任意的，均有（其中），則稱數(shù)列為“Γ數(shù)列”．
（1）判斷數(shù)列和是否是“Γ數(shù)列”，并說明理由；
（2）若為“Γ數(shù)列”，求證：對(duì)恒成立；
（3）設(shè)是公差為的無窮項(xiàng)等差數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)，
均構(gòu)成“Γ數(shù)列”，求的公差．

Answer 1

（1）數(shù)列不是“數(shù)列”； 數(shù)列是“數(shù)列”；（2）詳見解析；（3）數(shù)列的公差．

試題分析：（1）判斷數(shù)列和是否是“Γ數(shù)列”，根據(jù)“Γ數(shù)列”的定義，對(duì)任意的，均有，只要每一項(xiàng)都滿足，就是“Γ數(shù)列”，有一項(xiàng)不滿足就不是“Γ數(shù)列”，對(duì)于數(shù)列，，觀察數(shù)列中的項(xiàng)，都大于，顧不符合定義，對(duì)于數(shù)列，，觀察數(shù)列中的每一項(xiàng)，都小于，符合定義，故是“Γ數(shù)列”；（2） 若為“Γ數(shù)列”，求證：對(duì)恒成立，本題直接證明似乎無從下手，因此可用反證法，即假設(shè)存在某項(xiàng)，把它作為條件，可得，設(shè)，得出，顯然這與“數(shù)列”定義矛盾，從而得證；（3）求的公差，由（2）可知，分，與，兩種情況討論，當(dāng)易證符合，當(dāng)時(shí)，顯然是遞增數(shù)列，由“數(shù)列”的定義可知，即，整理得，當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故不是“數(shù)列”，因此得公差.
（1）①因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045955781730.png" style="vertical-align:middle;" />，數(shù)列不是“數(shù)列”，       2分
②因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824045955827829.png" style="vertical-align:middle;" />，又是數(shù)列中的最大項(xiàng)
所以數(shù)列是“數(shù)列”.                                                 4分
（2）反證法證明：
假設(shè)存在某項(xiàng)，則
.
設(shè)，則
，
所以，即，
這與“數(shù)列”定義矛盾，所以原結(jié)論正確.                                    8分
（3）由（2）問可知.   
①當(dāng)時(shí)，，符合題設(shè)；                    9分
②當(dāng)時(shí)， 
由“數(shù)列”的定義可知，即
整理得（*）
顯然當(dāng)時(shí)，上述不等式（*）就不成立
所以時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，不可能都成立.
綜上討論可知的公差.                             13分