Question

在一場(chǎng)壘球比賽中，其中本壘與游擊手的初始位置間的距離為1，通常情況下，球速是游擊手跑速的4倍．
（1）若與連結(jié)本壘及游擊手的直線(xiàn)成α角（0°＜α＜90°）的方向把球擊出，角α滿(mǎn)足什么條件下時(shí)，游擊手能接到球？并判斷當(dāng)α=15°時(shí)，游擊手有機(jī)會(huì)接到球嗎？
（2）試求游擊手能接到球的概率．（參考數(shù)據(jù)

15

=3.88，sin14.5°=0.25）．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用,幾何概型

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）設(shè)游擊手的跑速為v，接球所用的時(shí)間為t，游擊手的初始位置為A，本壘為O，在B處接球，在△AOB中，據(jù)余弦定理可得，推出15（vt）²-8cosα（vt）+1=0，通過(guò)△≥0，求出當(dāng)0°≤α≤14.5°時(shí)，游擊手能接到球．當(dāng)α=15°時(shí)，15°∉[0°，14.5°]，游擊手沒(méi)有機(jī)會(huì)接到球．
（2）設(shè)事件A={游擊手能接到球}，總事件Ω={球在O點(diǎn)沿α角擊出}，通過(guò)幾何概型求游擊手能接到球的概率．

解答： 解：設(shè)游擊手的跑速為v，接球所用的時(shí)間為t，游擊手的初始位置為A，本壘為O，在B處接球，如圖，由題意知：OA=1，0B=4vt，AB=vt，∠AOB=α，
在△AOB中，據(jù)余弦定理可得，
（vt）²=1+16（vt）²-2×4（vt）×cosα，
即15（vt）²-8cosα（vt）+1=0，則其判別式△=（8cosα）²-4×15×1=64cos²α-60．
據(jù)題意，當(dāng)游擊手能接到球時(shí)：△≥0，
即64cos²α-60≥0，∴cos²α≥

15

16

．
∴cosα≥

15

4

，∴0≤sinα≤

1

4

，∴0°≤α≤14.5°，
即當(dāng)0°≤α≤14.5°時(shí)，游擊手能接到球．
當(dāng)α=15°時(shí)，15°∉[0°，14.5°]，所以當(dāng)α=15°時(shí)，游擊手沒(méi)有機(jī)會(huì)接到球．
（2）設(shè)事件A={游擊手能接到球}，總事件Ω={球在O點(diǎn)沿α角擊出}，
則事件A中的基本事件滿(mǎn)足：0°≤α≤14.5°，
總事件Ω中的條件滿(mǎn)足：0°≤α≤90°，
因此P（A）=

14.5°-0°

90°-0°

=

29

180

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，幾何概型的應(yīng)用，考查實(shí)際問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．