Question

已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax+b丨x-1丨（x∈R）
（1）若a，b∈（-2，2），且函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)存在最大值，試在平面直角坐標(biāo)系aOb中求出動(dòng)點(diǎn)（a，b）運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積；
（2）若b＞0，且關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集中的整數(shù)恰巧有兩個(gè)，試求

a

b

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)，若a，b∈（-2，2），且函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)存在最大值，則需

a+b＜0 a-b＞0 -2＜a＜2 -2＜b＜2

，利用區(qū)域，即可求出區(qū)域的面積；
（2）由題意，需

f(2)＜0 f(3)≥0

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=

(a+b)x-b，x≥1 (a-b)x+b，x＜1

．
若a，b∈（-2，2），且函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)存在最大值，則需

a+b＜0 a-b＞0 -2＜a＜2 -2＜b＜2

，
如圖所示，∴動(dòng)點(diǎn)（a，b）運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積S=

1

2

×4×2=4；
（2）b＞0，且關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集中的整數(shù)恰巧有兩個(gè)，
則需

f(2)＜0 f(3)≥0

，即

2a+b＜0 3a+2b≥0

，解得-

2

3

≤

a

b

＜-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．