Question

F₁、F₂分別是雙曲線x²－y²＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y＝kx＋b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．向量在向量方向的投影是p．

(Ⅰ)根據(jù)條件求出b和k滿足的關(guān)系式；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求直線l的方程；

(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

　　解(1)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，從而圓O的方程為由于直線y＝kx＋b與圓O相切，所以有

　　即為所求．(3分)

　　(2)設(shè)則由并整理得，

　　

　　根據(jù)韋達(dá)定理，得(5分)

　　從而

　　

　　又由(1)知

　　又由于方向上的投影為p，所以

　　

　　即(8分)

　　

　　所以直線l的方程為(9分)

　　(3)類似于(2)可得

　　即(10分)

　　根據(jù)弦長公式，得

　　

　　

　　

　　

　　而2≤m≤4，

　　∴當(dāng)m＝2時(shí)

　　當(dāng)m＝4時(shí)

　　因此△AOB面積的取值范圍是(14分)