Question

如圖，四棱錐A-BCDE的底面BCDE是直角梯形，CE∥BD，∠ECB=90°，AC⊥平面BCDE，CE=CB=CA=2，BD=1．
（Ⅰ）求直線CA與平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅱ）在線段ED上是否存在一點F，使得異面直線CF與AB所成角余弦值等？若存在，試確定點F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，求出平面ADE的法向量，即可求得直線CA與平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅱ）假設(shè)存在λ∈（0，1），使得，則F（0，2λ，2-λ），利用異面直線CF與AB所成角余弦值等于，建立等式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2）．
∴，…（2分）
設(shè)平面ADE的法向量是，
∴，取y=1，得，…（4分）
∴直線CA與平面ADE所成角的正弦值是|cos|=；              …（6分）
（Ⅱ）假設(shè)存在λ∈（0，1），使得，則F（0，2λ，2-λ），
∴=（0，2λ，2-λ），
∵，∴|cos|=…（8分）
令=，解得λ=-1，或，…（10分）
∵λ∈（0，1），∴，…（11分）
∴當(dāng)F是線段線段ED的中點時，異面直線CF與AB所成角余弦值等于．…（12分）
點評：本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，用向量表示點與坐標(biāo)．