Question

若動點P（x，y）在曲線

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)上變化，則x²+2y的最大值為多少．

Answer 1

分析：利用三角換元，設點P（2cosθ，bsinθ），x²+2y=4cos²θ+2bsinθ=-4sin²θ+2bsinθ+4，再利用換元法，設sinθ=t，（-1≤t≤1），從而轉化為二次函數(shù)的值域問題，由于對稱軸t=

b

4

，故進行分類討論．

解答：解：設點P（2cosθ，bsinθ），x²+2y=4cos²θ+2bsinθ=-4sin²θ+2bsinθ+4
令T=x²+2y，sinθ=t，（-1≤t≤1），T=-4t²+2bt+4，（b＞0），對稱軸t=

b

4

當

b

4

＞1，即b＞4時，t=1時，T_max=2b；
當0＜

b

4

≤1，即0＜b≤4時，Tmax=T|t=

b

4

=

b2

4

+4
∴(x2+2y)max=

b2 4 +4，0＜b≤4 2b，b＞4

點評：本題以曲線為載體，考查代數(shù)式的最值，考查換元思想，解題的關鍵是利用二次函數(shù)的最值研究方法進行分類討論．