Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（5+x）=f（-x），（x-）f′（x）＞0，已知x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的（ ）條件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要

Answer 1

【答案】分析：先求出對(duì)稱軸，然后根據(jù)可判定函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可驗(yàn)證是充要條件．
解答：解：∵f（5+x）=f（-x），所以函數(shù)f（x）關(guān)于x=對(duì)稱
∵，
∴x＞時(shí)，f'（x）＞0  函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜時(shí)，f'（x）＜0   函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，若f（x₁）＞f（x₂）則有x₁＜x₂＜5-x₁，∴x₁+x₂＜5成立，故條件充分
當(dāng)x₁+x₂＜5時(shí)，必有x₂＜5-x₁成立，又因?yàn)閤₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要
f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要條件
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系和充分、必要條件的判定．屬中檔題．