Question

在直角梯形A₁A₂A₃D中，A₁A₂⊥A₁D，A₁A₂⊥A₂A₃，且B，C分別是邊A₁A₂，A₂A₃上的一點，沿線段BC，CD，DB分別將△BCA₂，△CDA₃，△DBA₁翻折上去恰好使A₁，A₂，A₃重合于一點A．

（Ⅰ） 求證：AB⊥CD；
（Ⅱ）已知A₁D=10，A₁A₂=8，試求：AC與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證AB⊥CD，先證AB⊥面ACD，在其展成的平面圖形中A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C，從而得到AB⊥AC，AB⊥AD，可得線面垂直，即可得線線垂直．
（2）要求AC與平面BCD所成角的正弦值，首先根據題意求出四面體ABCD的體積與S_△BCD=36，再根據等體積法得到V_B-ACD=V_A-BCD，進而得到點A到平面BCD的距離，即得到答案．
解答：解：（I）證明：因為A₁A₂A₃D為直角梯形，
所以A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C．
即在第二個圖中，AB⊥AC，AB⊥AD．
又因為AC∩AD=A，
∴AB⊥面ACD．
∵CD?面ACD，
∴AB⊥CD．
（II）在第一個圖中，作DE⊥A₂A₃于E，
∵A₁A₂=8，∴DE=8，
又∵A₁D=A₃D=10，
∴EA₃=6，∴A₂A₃=10+6=16．
而A₂C=A₃C，∴A₂C=8，即第二個圖中AC=8，AD=10．
由A₁A₂=8，A₁B=A₂B，可得第二個圖中AB=4．
所以，
由（I）知，AB⊥面ACD，所以．
設點A到平面BCD得距離為h，
由右邊圖象可得：-=36．
因為V_B-ACD=V_A-BCD，
所以，所以h=．
設AC與平面BCD所成角為α，所以sinα==．
點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．