Question

已知函數(shù)f（x）=+，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0，且x≠1時(shí)，f（x）＞．

Answer 1

【答案】分析：（I）據(jù)切點(diǎn)在切線(xiàn)上，求出切點(diǎn)坐標(biāo)；求出導(dǎo)函數(shù)；利用導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線(xiàn)的斜率及切點(diǎn)在曲線(xiàn)上，列出方程組，求出a，b的值．
（II）構(gòu)造新函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，證得不等式．
解答：解：（I）．
由于直線(xiàn)x+2y-3=0的斜率為-，且過(guò)點(diǎn)（1，1）
所以
解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=
所以
考慮函數(shù)，
則
所以當(dāng)x≠1時(shí)，h′（x）＜0而h（1）=0，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞0可得；
當(dāng)
從而當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義：在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線(xiàn)的斜率、考查通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)性；通過(guò)求函數(shù)的最值證明不等式恒成立．