Question

1．已知過拋物線x²=4y的焦點F的直線交拋物線于A，B兩個不同的點，過A，B分別作拋物線的切線，且二者相交于點C，則△ABC的面積的最小值為4．

Answer 1

分析 求出拋物線x²=4y的焦點坐標，設(shè)直線l方程為y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理，以及函數(shù)的求出切線方程，解出C的坐標，利用弦長公式求出|AB|點C到直線AB的距離，表示出S_△AOCB，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出三角形的面積的最小值．

解答 解：∵拋物線x²=4y的焦點F（0，1），
∴設(shè)直線l方程為y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x}^{2}=4y\end{array}\right.$，消去y得x²-4kx-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
拋物線x²=4y，即二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得y′=$\frac{1}{2}$x，
所以拋物線在點A處的切線斜率為k₁=$\frac{1}{2}$x₁，
可得切線方程為y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），化簡得y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
同理，得到拋物線在點B處切線方程為y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，兩方程消去x，
得兩切線交點C縱坐標滿足y_c=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=1，橫坐標為：x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2k．
點C（2k，-1）到直線AB的距離為d=$\frac{|4{k}^{2}+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
線段AB的長度為|x₁-x₂|$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+16}•\sqrt{1+{k}^{2}}$，
S_△ACB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}×\sqrt{16{k}^{2}+16}•\sqrt{1+{k}^{2}}×\frac{|4{k}^{2}+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$4\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{2{k}^{2}+1}$≥4．
當(dāng)k=0的等號成立，
∴S_△ACB面積的最小值為：4，
故答案為：4．

點評 本題考查了直線與拋物線相交相切問題、弦長公式、三角形的面積計算公式、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解切線方程、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力．