Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），則雙曲線的焦距為_(kāi)_____．

Answer 1

∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)（-a，0）與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F(

p

2

，0)的距離為4，∴

p

2

+a=4；
又雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），∴漸近線的方程應(yīng)是y=

b

a

x，而拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，因此-1=

b

a

×(-2)，-2=-

p

2

，
聯(lián)立得

p 2 +a=4 -1= -2b a -2=- p 2

，解得

p=4 a=2 b=1

，
∴2c=2

22+12

=2

5

．
故雙曲線的焦距為2

5

．
故答案為2

5

．