某校高三數(shù)學(xué)理科組有10名教師,其中4名女老師;文科組有5位老師,其中3位女老師.現(xiàn)在采取分層抽樣的方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣)從文、理兩科中抽取3名教師進(jìn)行“標(biāo)、綱、題”測試.
(1)求從文、理兩科各抽取的人數(shù).
(2)求從理科組抽取的教師中恰有1名女教師的概率.
(3)記ξ表示抽取的3名教師中男教師人數(shù),求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.
分析:(1)根據(jù)分層抽樣的定義和方法,可得抽樣比為2:1,可得從理科組、文科組分別抽取的教師數(shù).
(2)記A為事件:從理科組抽取的教師中恰有1名女教師,則P(A)=
C
1
4
C
1
6
C
2
10
,運(yùn)算求得結(jié)果.
(3)ξ的可能取值有0,1,2,3,分別求得求得P(ξ=0)、P(ξ=1)、P(ξ=2)、P(ξ=3)的值,即可得到ξ的概率分布列.
再根據(jù)ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望的定義,求得ξ的期望.
解答:解:(1)由于理科有10名教師,文科組有5名教師,抽樣比為2:1,所以從理科組抽取2名教師,文科組抽取1名教師.…(2分)
(2)記A為事件:從理科組抽取的教師中恰有1名女教師,則P(A)=
C
1
4
C
1
6
C
2
10
=
8
15
…(6分)
(3)ξ的可能取值有0,1,2,3,求得P(ξ=0)=
C
2
4
C
1
3
C
2
10
C
1
5
=
2
25
,P(ξ=1)=
C
2
4
C
1
2
C
2
10
C
1
5
+
C
1
6
C
1
4
C
1
3
C
2
10
C
1
5
=
28
75

P(ξ=3)=
C
2
6
C
1
2
C
2
10
C
1
5
=
2
15
,P(ξ=2)=1-
2
25
-
8
75
-
2
15
=
31
75
,可得ξ的概率分布列為:
ξ 0 1 2 3
P
2
25
28
75
31
75
2
15
…(11分)
E(ξ)=…=
8
5
…(13分)
點(diǎn)評:本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用,分層抽樣的定義和方法,離散型隨機(jī)變量及其分布列,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某校高三數(shù)學(xué)理科組有10名教師,其中4名女老師;文科組有5位老師,其中3位女老師.現(xiàn)在采取分層抽樣的方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣)從文、理兩科中抽取3名教師進(jìn)行“標(biāo)、綱、題”測試.
(1)求從文、理兩科各抽取的人數(shù).
(2)求從理科組抽取的教師中恰有1名女教師的概率.
(3)記ξ表示抽取的3名教師中男教師人數(shù),求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省達(dá)州市渠縣二中高三(上)9月月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

某校高三數(shù)學(xué)理科組有10名教師,其中4名女老師;文科組有5位老師,其中3位女老師.現(xiàn)在采取分層抽樣的方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣)從文、理兩科中抽取3名教師進(jìn)行“標(biāo)、綱、題”測試.
(1)求從文、理兩科各抽取的人數(shù).
(2)求從理科組抽取的教師中恰有1名女教師的概率.
(3)記ξ表示抽取的3名教師中男教師人數(shù),求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

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某校從參加高三年級理科綜合物理考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段,后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:

(Ⅰ)求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;

(Ⅱ)統(tǒng)計(jì)方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,據(jù)此估計(jì)本次考試的

平均分;

(Ⅲ)若從名學(xué)生中隨機(jī)抽取人,抽到的學(xué)生成績在分,在分,

分,用表示抽取結(jié)束后的總記分,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解析】(1)中利用直方圖中面積和為1,可以求解得到分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為

(2)中結(jié)合平均值可以得到平均分為:

(3)中用表示抽取結(jié)束后的總記分x, 學(xué)生成績在的有人,在的有人,在的有人,結(jié)合古典概型的概率公式求解得到。

(Ⅰ)設(shè)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為,根據(jù)頻率分布直方圖,則有,可得,所以頻率分布直方圖如右圖.……4分

(求解頻率3分,畫圖1分)

(Ⅱ)平均分為:……7分

(Ⅲ)學(xué)生成績在的有人,在的有人,

的有人.并且的可能取值是.    ………8分

;;

;.(每個(gè)1分)

所以的分布列為

0

1

2

3

4

…………………13分

 

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