Question

已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），，．

（1）記函數(shù)，且，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若對任意，，均有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）的單調(diào)增區(qū)間為和；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，去掉絕對值符號，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

試題解析：（1）因為，

所以，

令，因為，得或，

所以的單調(diào)增區(qū)間為和；

（2）因為對任意且，均有成立，

不妨設，根據(jù)在上單調(diào)遞增，

所以有對恒成立，

所以對，恒成立，

即對，恒成立，

所以和在都是單調(diào)遞增函數(shù)，

當在上恒成立，

得在恒成立，得在恒成立，

因為在上單調(diào)減函數(shù)，所以在上取得最大值，

解得．

當在上恒成立，

得在上恒成立，即在上恒成立，

因為在上遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上取得最小值，

所以，

所以實數(shù)的取值范圍為．

考點：1.導數(shù)的應用；2.不等式恒成立問題．