Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=n²•a_n（n∈N^*），且a₁=

1

2

．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表達(dá)式（不必證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系分別讓n=2，3，4即可求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據(jù)a₂，a₃，a₄的值得到數(shù)列的規(guī)律即可猜想a_n的表達(dá)式．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²•a_n-（n-1）²•a_n-1，
即（n-1）²•a_n-1=（n²-1）a_n，
∴a_n=

(n-1)2

n2-1

，
則a₂=

1

22-1

=

1

3

，
a₃=

22

32-1

=

4

8

=

1

2

，
a₄=

32

42-1

=

9

15

=

3

5

；
（2）∵a₁=

1

2

．
a₂=

1

3

，a₃=

1

2

=

2

4

，a₄=

3

5

，
則當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

n-1

n+1

，
則猜想a_n的表達(dá)式為a_n=

1 2 ， n=1 n-1 n+1 ， n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系分別令n=2，3，4代入，以及根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．