已知函數(shù)f(x)=
1
x2-4
(x＜-2)，點An(-
1
an+1
，an)在曲線y=f（x）的圖象上（n∈N*），且a1=1．
（1）證明數(shù)列{
1
an2
}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式
（3）設(shè)bn=
1
1
an
+
1
an+1
，記Sn=b1+b2+…+bn，求Sn．
分析：（1）把點An代入函數(shù)f（x）中化簡整理
1
an2
=
1
an+12
-4判斷出數(shù)列{
1
an2
}為等差數(shù)列．
（2）先根據(jù)數(shù)列{
1
an2
}為等差數(shù)列，并且首項為
1
a12
=1，公差為4，求得
1
an2
，進而求得數(shù)列{an}的通項公式
（3）把（2）中求得an代入bn中，進而用疊加法求得數(shù)列的前n項的和．
解答：解：（1）∵點An(-
1
an+1
，an)在曲線y=f（x）的圖象上（n∈N*）
∴a n=
1
(-
1
an+1
)2-4
=
an+12
1-4an+12

∴a
 
2
n
=
an+12
1-4an+12

∴
1
an2
=
1
an+12
-4，∴
1
an+12
-
1
an2
=4(n≥1，n∈N)，
∴數(shù)列{
1
an2
}為等差數(shù)列．
（2）∵數(shù)列{
1
an2
}為等差數(shù)列，并且首項為
1
a12
=1，公差為4，
∴
1
an2
=1+4（n-1），∴an2=
1
4n-3
，
∵an＞0，∴an=
1
4n-3
，
（3）bn=
1
1
an
+
1
an+1
=
1
4n-3
+
4n+1
=
4n+1
-
4n-3
4
，
∴Sn=b1+b2++bn
=
5
-1
4
+
9
-
5
4
++
4n+1
-
4n-3
4
=
4n+1
-1
4
點評：本題主要考查了數(shù)列等差關(guān)系的確定和通項公式．解題的基礎(chǔ)是對數(shù)列公式的熟練掌握．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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