Question

（2012•汕頭一模）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²|x-a|．
（Ⅰ） 當(dāng)a=1時(shí)，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ） 判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分x≤1，x＞1兩種情況討論去掉絕對值符號，然后解方程f（x）=x即可得到x的集合；
（Ⅱ）按a=0，a≠0兩種情況討論：a=0時(shí)易判斷函數(shù)奇偶性，當(dāng)a≠0時(shí)，令x=±1可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性情況；
（Ⅲ）設(shè)此最小值為m，a＞2時(shí)求得f′（x）=3x（

2

3

a-x），按

2

3

a在區(qū)間[1，2]的右側(cè)、內(nèi)部兩種情況討論單調(diào)性，由單調(diào)性可得f（x）的最小值，當(dāng)2＜a＜3時(shí)根據(jù)f（1）與f（2）的大小進(jìn)行討論；

解答：解：（Ⅰ）由題意，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²|x-1|，
當(dāng)x≤1時(shí)，由f（x）=x²（1-x）=x，解得x=0；
當(dāng)x＞1時(shí)，由f（x）=x²（x-1）=x，解得x=

1+ 5

2

．
綜上，所求解集為{0，

1+ 5

2

}．
（Ⅱ）可以對a進(jìn)行如下分類討論：
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²|x|=f（-x），x∈R，顯然，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，令x=±1可得：f（1）=|1-a|，f（-1）=|-1-a|=|1+a|
顯然f（1）≠f（-1）≠-f（1），
故函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（Ⅲ）設(shè)此最小值為m，當(dāng)a＞2時(shí)，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=ax²-x³，f′(x)=2ax-3x2=3x(

2

3

a-x)．
（1）若a≥3，在區(qū)間（1，2）內(nèi)f'（x）＞0，從而f（x）為區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，
由此得m=f（1）=a-1．
（2）若2＜a＜3，則1＜

2

3

a＜2．
當(dāng)1＜x＜

2

3

a時(shí)，f'（x）＞0，從而f（x）為區(qū)間[1，

2

3

a]上的增函數(shù)；
當(dāng)

2

3

a＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0，從而f（x）為區(qū)間[

2

3

a，2]上的減函數(shù)．
因此，當(dāng)2＜a＜3時(shí)，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
當(dāng)2＜a≤

7

3

時(shí)，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2）；
當(dāng)

7

3

＜a＜3時(shí)，a-1＜4（a-2），故m=f（1）=a-1．
綜上所述，所求函數(shù)的最小值m=

a-1，a＞ 7 3 4a-8，2＜a≤ 7 3

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查函數(shù)方程思想、分類討論思想，考查學(xué)生運(yùn)用知識解決問題的能力．