Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的右焦點(diǎn)重合，設(shè)AB為過(guò)拋物線C焦點(diǎn)的弦，則|AB|的最小值為（　�。�

• A、3
• B、6
• C、12
• D、24

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可設(shè)直線L的方程與拋物線聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂，進(jìn)而根據(jù)拋物線定義可求得|AB|的表達(dá)式，整理可得|AB|=12（1+

1

k2

），進(jìn)而可知當(dāng)a=90°時(shí)AB|有最小值．

解答： 解：雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的右焦點(diǎn)（3，0），拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)（3，0），
可得拋物線方程為：y²=12x．
設(shè)直線L過(guò)F，斜率存在時(shí)，則直線L方程為y=k（x-3），
聯(lián)立y²=12x得k²x²-（6k²+12）x+9k²=0，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=6+

12

k2

，
|AB|=x₁+x₂+6=12+

12

k2

=12（1+

1

k2

）＞12，
當(dāng)k→∞時(shí)|AB|→12；
當(dāng)a=90°時(shí)，即AB垂直于X軸時(shí)，AB=12，
綜上所述，AB的最小值是12．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用．這道題綜合了拋物線的性質(zhì)、拋物線的焦點(diǎn)弦、直線與拋物線的關(guān)系等問(wèn)題．綜合性很強(qiáng)．