Question

已知函數(shù)f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

ax ax+8

，x∈（0，+∞）．
（1）當(dāng)a=8時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)任意正數(shù)a，證明：1＜f（x）＜2．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=8代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）令b=

8

ax

，則abx=8①，f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+b

②，將f（x）解析式進(jìn)行放縮，使用基本不等式，可證
f（x）＞1，由①、②式中關(guān)于x，a，b的對(duì)稱性，不妨設(shè)x≥a≥b．則0＜b≤2，當(dāng)a+b≥7，將f（x）解析式進(jìn)行放縮，可證
f（x）＜2；當(dāng)a+b＜7③，將f（x）解析式進(jìn)行放縮，再使用基本不等式證明f（x）＜2．綜上，1＜f（x）＜2．

解答：解：（1）、當(dāng)a=8時(shí)，f(x)=

1+ x

1+x

+

1

3

，求得f′(x)=

1- x

2 x(1+x)3

，
于是當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f'（x）≥0；而當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f'（x）≤0．
即f（x）在（0，1]中單調(diào)遞增，而在[1，+∞）中單調(diào)遞減．
（2）．對(duì)任意給定的a＞0，x＞0，由f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+ 8 ax

，
若令b=

8

ax

，則abx=8①，
而f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+b

②
（一）先證f（x）＞1；因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

1+x

＞

1

1+x

，

1

1+a

＞

1

1+a

，

1

1+b

＞

1

1+b

，
又由2+a+b+x≥2

2a

+2

bx

≥4

4	2abx

=8，得a+b+x≥6．
所以f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+b

＞

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+b

=

3+2(a+b+x)+(ab+ax+bx)

(1+x)(1+a)(1+b)

≥

9+(a+b+x)+(ab+ax+bx)

(1+x)(1+a)(1+b)

=

1+(a+b+x)+(ab+ax+bx)+abx

(1+x)(1+a)(1+b)

=1．
（二）再證f（x）＜2；由①、②式中關(guān)于x，a，b的對(duì)稱性，不妨設(shè)x≥a≥b．則0＜b≤2
（�。┊�(dāng)a+b≥7，則a≥5，所以x≥a≥5，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

1+b

＜1，

1

1+x

+

1

1+a

≤

2

1+5

＜1，此時(shí)f(x)=

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+b

＜2．
（ⅱ）當(dāng)a+b＜7③，由①得，x=

8

ab

，

1

1+x

=

ab ab+8

，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

1+b

＜1-

b

1+b

+

b2

4(1+b)2

=[1-

b

2(1+b)

]2
所以

1

1+b

＜1-

b

2(1+b)

④
同理得

1

1+a

＜1-

a

2(1+a)

⑤，
于是f(x)＜2-

1

2

(

a

1+a

+

b

1+b

-2

ab ab+8

)⑥
今證明

a

1+a

+

b

1+b

＞2

ab ab+8

⑦，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

1+a

+

b

1+b

≥2

ab (1+a)(1+b)

，
只要證

ab

(1+a)(1+b)

＞

ab

ab+8

，即ab+8＞（1+a）（1+b），也即a+b＜7，據(jù)③，此為顯然．
因此⑦得證．故由⑥得f（x）＜2．
綜上所述，對(duì)任何正數(shù)a，x，皆有1＜f（x）＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法、基本不等式法證明不等式，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想．