Question

已知等比數(shù){a_n}，a₁=1，a₄=8，在a_n與a_n+1兩項(xiàng)之間依次插入2^n-1個(gè)正整數(shù)，得到數(shù)列{b_n}，即a₁，1，a₂，2，3，a₃，4，5，6，7，a₄，8，9，10，11，12，13，14，15，a₅，…則數(shù)列{b_n}的前2013項(xiàng)之和S₂₀₁₃=

2007050

（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析：在數(shù)列{b_n}中，到a_n項(xiàng)共有=n+（1+2+…+2^n-2）=n+

1×(2n-1-1)

2-1

=2^n-1+n-1項(xiàng)，即為f（n）（n≥2），因此判斷出共含有a_n的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而即可得出S₂₀₁₃．

解答：解：在數(shù)列{b_n}中，到a_n項(xiàng)共有=n+（1+2+…+2^n-2）=n+

1×(2n-1-1)

2-1

=2^n-1+n-1項(xiàng)，即為f（n）（n≥2）．
則f（11）=2¹⁰+11-1=1034，f（12）=2¹¹+12-1=2059．
設(shè)等比數(shù){a_n}的公比為q，由a₁=1，a₄=8，得1×q³=8，解得q=2，
因此S₂₀₁₃=a₁+a₂+…+a₁₀+a₁₁+1+2+3+…+2002=

1×(211-1)

2-1

+

2002×(1+2002)

2

=2007050．
故答案為2007050．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及由已知判斷出共含有a_n的項(xiàng)數(shù)是解題的關(guān)鍵．