Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠CDA=∠DAB=90°CD=1，AD=2，AB=4，且∠APD=30°，M為PB的中點(diǎn)．
①求證：PB⊥平面AMC；
②求直線AM與平面PAD所成的角；
③求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)∠PDC=∠PDA=∠CDA=90°，故以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為Z軸建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出向量，，，從而根據(jù)得PB⊥AC，PB⊥AM，而AC∩AM=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論；
②平面PAD的法向量為，根據(jù)可求出AM與DC所成的角，從而求出PM與平面PAD所成的角；
③設(shè)平面PBC的法向量為，根據(jù)法向量與、垂直求出，又=（0，-4，0）根據(jù)cos＜，＞=可求出AB與平面PBC的所成角的正弦值，從而點(diǎn)A到平面PBC的距離．
解答：解：①因∠PDC=∠PDA=∠CDA=90°
故以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為Z
軸建立空間坐標(biāo)系
因∠ADP=30°，AD=2，
∴PD=，又∠DAB=90°，
從而有D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0）
C（0，1，0），P（0，0，2）
∴M（1，2，）
則
從而，
∴PB⊥AC，PB⊥AM，而AC∩AM=A
故PB⊥平面AMC…（5分）
②平面PAD的法向量為

即AM與DC所成的角為45°，故PM與平面PAD所成的角為45°…（9分）
③設(shè)平面PBC的法向量為
由
取，
∴
又=（0，-4，0）則cos＜，＞==
則AB與平面PBC的所成角的正弦值為
從而點(diǎn)A到平面PBC的距離為…（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了用空間向量求直線與平面的夾角，以及線面垂直的判定和點(diǎn)到平面的距離，同時考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．