Question

定義：如果數(shù)列{a_n}的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱{a_n}為“三角形”數(shù)列．對(duì)于“三角形”數(shù)列{a_n}，如果函數(shù)y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱y=f（x）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，（n∈N^﹡）．
（1）已知{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若f（x）=k^x，（k＞1）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍；
（2）已知數(shù)列{c_n}的首項(xiàng)為2010，S_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，且滿足4S_n+1-3S_n=8040，證明{c_n}是“三角形”數(shù)列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中數(shù)列{c_n}的“保三角形函數(shù)”，問數(shù)列{c_n}最多有多少項(xiàng)．
[理科]根據(jù)“保三角形函數(shù)”的定義，對(duì)函數(shù)h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和數(shù)列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一個(gè)正確的命題，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先有條件得{a_n}是三角形數(shù)列，再利用f（x）=k^x，（k＞1）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，得到kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²，解得k的取值范圍；
（2）先利用條件求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，再證明其滿足“三角形”數(shù)列的定義即可；
（3）[文科]利用條件得到g（c_n）是單調(diào)遞減函數(shù)以及l(fā)gc_n-1+lgc_n＞lgc_n-2得，解此不等式找到對(duì)應(yīng)的范圍即可得出結(jié)論．
[理科]根據(jù)函數(shù)h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是數(shù)列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函數(shù)”，可以得到①1，1+d，1+2d（d＞0）是三角形數(shù)列，所以1+1+d＞1+2d，即o＜d＜1，②數(shù)列中的各項(xiàng)必須在定義域內(nèi)，即1+2d≤A，③h（1），h（1+d），h（1+2d）是三角形數(shù)列；結(jié)論為在利用h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是單調(diào)遞減函數(shù)，就可求出對(duì)應(yīng)d的范圍．

解答：解：（1）顯然a_n=n+1，a_n+a_n+1＞a_n+2對(duì)任意正整數(shù)都成立，
即{a_n}是三角形數(shù)列．（2分）
因?yàn)閗＞1，顯然有f（a_n）＜f（a_n+1）＜f（a_n+2），
由f（a_n）+f（a_n+1）＞f（a_n+2）得kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²，解得k＜

1+ 5

2

．
所以當(dāng)k∈（1，

1+ 5

2

）時(shí)，f（x）=k^x是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”．（5分）
（2）由4S_n+1-3S_n=8040得4S_n-3S_n-1=8040，兩式相減得4c_n+1-3c_n=0
所以，c_n=2010(

3

4

)n-1，
經(jīng)檢驗(yàn)，此通項(xiàng)公式滿足4S_n+1-3S_n=8040 （7分）
顯然c_n＞c_n+1＞c_n+2，因?yàn)閏_n+1+c_n+2=2010(

3

4

)n+2010(

3

4

)n+1=•2010(

3

4

)n-1＞c_n，
所以{c_n}是“三角形”數(shù)列．（10分）
（3）[文科]因?yàn)間（c_n）是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，由lgc_n-1+lgc_n＞lgc_n-2得
lg2010+（n-2）

3

4

lg+lg2010+（n-1）lg

3

4

＞lg2010+（n-3）lg

3

4

（14分）
化簡(jiǎn)得lg2010＞nlg

3

4

，解得n＜26.4，
即數(shù)列{b_n}最多有26項(xiàng)．（18分）
（3）[理科]探究過程：函數(shù)h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是數(shù)列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函數(shù)”，必須滿足三個(gè)條件：
①1，1+d，1+2d（d＞0）是三角形數(shù)列，所以1+1+d＞1+2d，即o＜d＜1．
②數(shù)列中的各項(xiàng)必須在定義域內(nèi)，即1+2d≤A．
③h（1），h（1+d），h（1+2d）是三角形數(shù)列．
由于h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是單調(diào)遞減函數(shù)，所以h（1+d）+h（1+2d）＞h（1），解得0＜d＜

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是在新定義下對(duì)數(shù)列的綜合考查．關(guān)于新定義的題型，在作題過程中一定要理解定義，并會(huì)用定義來解題．