(廣東六校聯(lián)考模擬)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意實數(shù)x、y都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)，當(dāng)x＞0時，f(x)＞0且f(2)=6．

(1)求證：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

(2)證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；

(3)在區(qū)間[－4，4]上，求f(x)的最值．

答案：略
解析：

證明：∵，f(x＋y)=f(x)＋f(y)，

∴令x=y=0，

得f(0)=f(0)＋f(0)，　　　　　　　(1分)

∴f(0)=0．　　　　　　　　　　　　(2分)

令y=－x，

得f(0)=f(x)＋f(－x)，　　　　　　　(3分)

即f(－x)=－f(x)，

∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．　　　　　　　　(4分)

(2)設(shè)，且，　　　　　　(5分)

則．　　(6分)

又∵當(dāng)x＞0時，f(x)＞0，

∴，　　　　　　　　(7分)

即．　　　　　　　　　　　　　　(8分)

∴函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．　　　　　　　　(9分)

(3)∵函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[－4，4]上也是增函數(shù)，

(10分)

∴函數(shù)f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(－4)．　　(11分)

∵f(2)=6，∴f(4)=f(2＋2)=f(2)＋f(2)=12．　　　(12分)

∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

∴f(－4)=－f(4)=－12．　　　　　　　　　　　(13分)

故函數(shù)f(x)最大值為12，最小值為－12．　　　　(14分)


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

(廣東六校聯(lián)考模擬)函數(shù)在(－2，0)上是單調(diào)遞增的，則此函數(shù)在(―∞，―2)上是

[　　]

A．單調(diào)遞增

B．單調(diào)遞減

C．先增后減

D．先減后增

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

(廣東六校聯(lián)考模擬)已知α為第二象限的角，且，則等于

[　　]

A．

B．

C．

D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：022

(廣東六校聯(lián)考模擬)給出下列四個命題：

A.函數(shù)與函數(shù)(a＞0且a≠1)的定義域相同；

B.函數(shù)與的值域相同；

C.函數(shù)與都是奇函數(shù)；

D.函數(shù)與在區(qū)間[0，＋∞)上都是增函數(shù)，其中正確命題的代號是________(按照原順序把你認為正確的命題代號都填上)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：022

(廣東六校聯(lián)考模擬)已知函數(shù)y=asin2x＋bcos2x＋2(ab≠0)的一條對稱軸方程為，則函數(shù)y=asin2x＋bcos2x＋2的位于對稱軸左邊的第一個對稱中心為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

(廣東六校聯(lián)考模擬)已知函數(shù)，．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(3)若，求sin2α的值．

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