Question

已知直線l：X-y+1=0，⊙O：x²+y²=2上的任意一點P到直線l的距離為d．當(dāng)d取得最大時對應(yīng)P的坐標(biāo)（m，n），設(shè)g（x）=mx+-2lnx．
（1）求證：當(dāng)x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）討論關(guān)于x的方程：根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：首先（1）求證函數(shù)恒成立的問題，可以根據(jù)求導(dǎo)函數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，然后直接求得結(jié)果．
（2）討論關(guān)于x的方程根的個數(shù)可以求導(dǎo)函數(shù)，然后判斷其單調(diào)性后，分段討論在各個區(qū)間根的情況．
解答：解：（1）由題意得P（1，-1），
∴m=1，n=-1∴
∴，
∴g（x）在[1，+∞）是單調(diào)增函數(shù)，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0對于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）方程；
∴2lnx=2x³-4ex²+tx
∵x＞0，∴方程為
令，H（x）=2x²-4ex+t，
∵，當(dāng)x∈（0，e）時，L′（x）≥0，
∴L′（x）在（0，e]上為增函數(shù)；x∈[e，+∞）時，L′（x）≤0，
∴L′（x）在[0，e）上為減函數(shù)，
當(dāng)x=e時，
H（x）=2x²-4ex+t=2（x-e）²+t-2e²，
∴可以分析①當(dāng)，即時，方程無解．
②當(dāng)，即時，方程有一個根．
③當(dāng)，即時，方程有兩個根．
點評：此題主要考查函數(shù)恒成立的問題的證明及根存在性及根個數(shù)的判斷問題，其中應(yīng)用到用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性極值的思想，有一定的計算量，屬于綜合性試題．