Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²-2bx+4，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意x₁∈（0，2），當(dāng)x₂∈[1，2]時(shí)，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）=0，得，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，f'（x）≤0；當(dāng)時(shí)，，在（0，1）和上，有f'（x）＜0，在上，f'（x）＞0，由此即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，確定函數(shù)f（x）在（0，2）的最小值，再將對(duì)任意x₁∈（0，2），當(dāng)x₂∈[1，2]時(shí)，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，轉(zhuǎn)化為只需當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g_max（x）≤f（x）_min即可，由此可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得：=
令f′（x）=0，得…（3分）
當(dāng)時(shí)，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減         …（4分）
當(dāng)時(shí)，，在（0，1）和上，有f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
在上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增    …（6分）
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在（0，2）的最小值為…（8分）
若對(duì)任意x₁∈（0，2），當(dāng)x₂∈[1，2]時(shí)，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，即可，所以，…（11分）
代入解得      
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是．                      …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將對(duì)任意x₁∈（0，2），當(dāng)x₂∈[1，2]時(shí)，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，轉(zhuǎn)化為只需當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g_max（x）≤f（x）_min．