【題目】設(shè)函數(shù),其中
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在極值點(diǎn)
,且
,其中
,求證:
;
(Ⅲ)設(shè),函數(shù)
,求證:
在區(qū)間
上最大值不小于
.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.
【解析】試題分析:(1)求單調(diào)區(qū)間,先求導(dǎo)解導(dǎo)數(shù)大于零求遞增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于零求遞減區(qū)間,但要注意a的取值對導(dǎo)數(shù)符號得影響(2)函數(shù)存在極值點(diǎn),即將代入導(dǎo)函數(shù)等于零,又
所以
從而得證(3)求最值先分析函數(shù)單調(diào)性即可,然后討論在區(qū)間
得極值和端點(diǎn)值大小來確定最大值,再驗(yàn)證其不小于
即可
試題解析:
(Ⅰ)由,可得
,
下面分兩種情況討論:
(1)當(dāng)時,有
恒成立,所以
單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)當(dāng)時,令
,解得
,或
,
當(dāng)變化時,
的變化情況如下表:
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| 單調(diào)遞增 | 極大值 | 單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
(Ⅱ)證明:因?yàn)?/span>存在極值點(diǎn),所以由(Ⅰ)知
,且
,由題意,得
,即
進(jìn)而
又
,且
,由題意及(Ⅰ)知,存在唯一實(shí)數(shù)
滿足
,且
,因此
,所以
;
(Ⅲ)證明:設(shè)在區(qū)間
上的最大值為
,
表示
兩數(shù)的最大值,下面分三種情況討論:
(1)當(dāng)時,
,由(Ⅰ)知,
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,所以
在區(qū)間
上的取值范圍為
,因此
所以
(2)當(dāng)時,
,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,
所以在區(qū)間
上的取值范圍為
,
因此
(3)當(dāng)時 時,
,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,
,
所以在區(qū)間
上的取值范圍為
,因此
,
綜上所述,當(dāng)時,
在區(qū)間
上的最大值不小于
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在
上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)求所有的實(shí)數(shù),使得對任意
時,函數(shù)
的圖象恒在函數(shù)
圖象的下方;
(3)若存在,使得關(guān)于
的方程
有三個不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.
(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與
的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(Ⅱ)建立關(guān)于
的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.
參考數(shù)據(jù): ,
,
,
.
參考公式:相關(guān)系數(shù),
回歸方程,
,
本題中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為: ,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1在△
中,
,
、
分別為線段
、
的中點(diǎn),
,
.以
為折痕,將
△
折起到圖2的位置,使平面
⊥平面
,連接
,
,設(shè)
是線段
上的動點(diǎn),滿足
.
(1)證明:平面⊥平面
;
(2)若二面角的大小為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才,對20位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測試,其測試結(jié)果如下表:
例如表中運(yùn)動協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生是4人,由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這20位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位,抽到邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為.
(1)求、
的值;
(2)從運(yùn)動協(xié)調(diào)能力為優(yōu)秀的學(xué)生中任意抽取2位,求其中至少有一位邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證: ;
(3)求證:當(dāng)時,
,
恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線
若,過點(diǎn)
的直線
交曲線
于
兩點(diǎn),且
,求直線
的方程;
若曲線表示圓,且直線
與圓
交于
兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)
,使得以
為直徑的圓過原點(diǎn),若存在,求出實(shí)數(shù)
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的方程為
,點(diǎn)
是拋物線
上到直線
距離最小的點(diǎn),點(diǎn)
是拋物線上異于點(diǎn)
的點(diǎn),直線
與直線
交于點(diǎn)
,過點(diǎn)
與
軸平行的直線與拋物線
交于點(diǎn)
.
(Ⅰ)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)證明直線恒過定點(diǎn),并求這個定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機(jī)訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為
(1)求頻率分布圖中的值,并估計(jì)該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率;
(2)從評分在的受訪職工中,隨機(jī)抽取2人,求此2人評分都在
的概率..
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