Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，其中AB=

2

2

，DC=

2

，AD=1，AD⊥AB，頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影落在線段AC上，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PDB；
（Ⅲ）若PA=PC=1，求三棱錐P-DBF的體積．

Answer 1

分析：（I）取PD中點(diǎn)E，連結(jié)EA、EF，∵E、F分別是PD、PC的中點(diǎn)，可證四邊形EFBA是平行四邊形，AE∥BF，由線面平行的判定定理可證EF∥平面PAD；
（II）頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影落在線段AC上，設(shè)為H，則PH⊥面ABCD，可得PH⊥BD，再證BD⊥面PAC，由面面垂直的判定定理證明平面PBD⊥平面PAC；
（III）由PA=PC=1，得H為AC的中點(diǎn)，根據(jù)V_P-DBF=

1

2

V_P-BCD，求出底面△BCD的面積和高AH，代入公式計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)EA、EF，
∵E、F分別是PD、PC的中點(diǎn)，

∴EF∥DC，又DC∥AB，且EF=

1

2

DC=AB，
∴EF∥AB，且EF=AB
∴四邊形EFBA是平行四邊形，∴AE∥BF，
又∵AE?面PAD，BF?面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（II）證明：頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影落在線段AC上，設(shè)為H，則PH⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴PH⊥BD，
∵Rt△ABD中，

AB

AD

=

2

2

，Rt△DAC中，

AD

DC

=

1

2

=

2

2

，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△DAC，
∴∠DAC=∠ABD，故∠ABD+∠CAB=90°即AC⊥BD，
又∵PH∩AC=H，PH、AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；
（ III）∵PA=PC=1，
∴頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影H落在線段AC的中點(diǎn)上，且，AC=

1+2

=

3

，
∴S_△BCD=S_△ACD=

1

2

×1×

2

，AH=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，
∵F分別是PC的中點(diǎn)，∵F到面PDB的距離是C到面PDB的距離的

1

2

，
VP-DBF=

1

2

VC-PDB=

1

2

VP-DBC=

1

2

×

1

3

×(

1

2

×

2

×1)×

1

2

=

2

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定，考查了面面垂直的判定，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理運(yùn)算能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．