Question

（本小題滿分14分）

已知函數，，函數的圖象在點處的切線平行于軸．

（1）確定與的關系；

（2）試討論函數的單調性；

（3）證明：對任意，都有成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當時，函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；

當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，

當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．

（3）可以利用放縮不等式證明也可以構造新數列利用數列的性質證明還可以構造函數利用導數證明

【解析】

試題分析：（1）依題意得，則

由函數的圖象在點處的切線平行于軸得：

∴                                                        ……3分

（2）由（1）得               ……4分

∵函數的定義域為

∴當時，在上恒成立，

由得，由得，

即函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；                      ……5分

當時，令得或，

若，即時，

由得或，由得，

即函數在，上單調遞增，在單調遞減；          ……6分

若，即時，

由得或，由得，

即函數在，上單調遞增，在單調遞減；          ……7分

若，即時，在上恒有，

即函數在上單調遞增，                                     ……8分

綜上得：當時，函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；

當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，

當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．

……9分

（3）證法一：由（2）知當時，函數在單調遞增，，即，       ……11分

令，則，                             ……12分

即           ……14分

【證法二：構造數列，使其前項和，

則當時，，     ……11分

顯然也滿足該式，

故只需證          ……12分

令，即證，記，

則，

在上單調遞增，故，

∴成立，

即．                                             ……14分】

【證法三：令，

則

                                         ……10分

令則，

記                        ……12分

∵∴函數在單調遞增，

又即，

∴數列單調遞增，又，∴            ……14分】

考點：本小題主要考查利用導數研究函數的性質和不等式的證明.

點評：導數是研究函數性質的有力工具，研究函數時，首先要看函數的定義域，求單調區(qū)間、極值、最值時，往往離不開分類討論，主要考查學生的分類討論思想的應用和運算求解能力.