Question

幾何證明選講如圖：已知圓上的弧=，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點

證明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC²=BE×CD．

Answer 1

由同圓中等圓弧的性質可得∠ABC=∠BCD．由弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，即可得出證明．（II）利用弦切角定理可得∠CDB=∠BCE，由相似三角形的判定定理可得△BEC∽△CBD，由相似三角形的性質可得BC²=BE×CD．，即可求出BC

試題分析：解：（Ⅰ）因為=，
所以∠BCD=∠ABC．
又因為EC與圓相切于點C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因為∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故BC：BE="CD:BC" ．
即BC²=BE×CD．（10分）
點評：熟練掌握同圓中等圓弧的性質、弦切角定理、相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．