Question

某種商品每件進價12元，售價20元，每天可賣出48件．若售價降低，銷售量可以增加，且售價降低x（0≤x≤8）元時，每天多賣出的件數(shù)與x²+x成正比．已知商品售價降低3元時，一天可多賣出36件．
（1）試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù)；
（2）該商品售價為多少元時一天的銷售利潤最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）確定每件商品的利潤，每天賣出的商品件數(shù)，即可求得該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù)；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的極值，從而可得最大利潤．
解答：解：（1）由題意可設(shè)，每天多賣出的件數(shù)為k（x²+x），∴36=k（3²+3），∴k=3
又每件商品的利潤為（20-12-x）元，每天賣出的商品件數(shù)為48+3（x²+x）
∴該商品一天的銷售利潤為f（x）=（8-x）[48+3（x²+x）]=-3x³+21x²-24x+384（0≤x≤8）
（2）由f'（x）=-9x²+42x-24=-3（x-4）（3x-2）
令f'（x）=0可得或x=4
當x變化時，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：

					4		8
		-		+		-
	384	↘	極小值	↗	極大值432	↘

∴當商品售價為16元時，一天銷售利潤最大，最大值為432元
點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式．