滿足C
 
1
n
+2C
 
2
n
+3C
 
3
n
+…+nC
 
n
n
<200的最大自然數(shù)n=
 
分析:令t=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn,則有t=n
C
n
n
+(n-1)
C
n-1
n
+(n-2)
C
n-2
n
+…+2
C
2
n
+
C
1
n
,相加可得2t=n×2n,再解不等式即可求得n的最大值.
解答:解:由題意令t=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn ①,
則有 t=n
C
n
n
+(n-1)
C
n-1
n
+(n-2)
C
n-2
n
+…+2
C
2
n
+
C
1
n
 ②.
①即 t=
C
n-1
n
+2
C
n-2
n
+…+(n-2)
C
2
n
+(n-1)
C
1
n
+n
C
0
n

②即 t=n
C
n
n
+(n-1)
C
n-1
n
+(n-2)
C
n-2
n
+…+2
C
2
n
+
C
1
n

把①和②按所給的方式對應相加可得
2t=n
C
n
n
+n
C
n-1
n
+n
C
n-2
n
+…+n
C
2
n
+n
C
1
n
+n
C
0
n
=n(
C
n
n
+
C
n-1
n
+
C
n-2
n
+…+
C
0
n
)=n×2n,
故n×2n<400,驗證知,最大的n是6,
故答案為:6.
點評:本題主要考查二項式定理,二項式系數(shù)的性質(zhì),本題較抽象,知識性強,解題時要注意公式與定理的使用,屬于中檔題.
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