Question

設F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P滿足∠F₁PF₂=120°，則橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A．[

  3

  2

  ，1)
• B．(

  3

  2

  ，1)
• C．(0，

  3

  2

  )
• D．(0，

  3

  2

  ]

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，再利用余弦定理化簡整理得cos∠PF₁F₂=

4a2-4c2

2|PF1||PF2|

-1，進而根據(jù)均值不等式確定|PF₁||PF₂|的范圍，進而確定cos∠PF₁F₂的最小值，求得a和b的關(guān)系，進而求得a和c的關(guān)系，確定橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0，設P（x₁，y₁），
則|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得cos120°=

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，
解得x₁²=

4c2-3a2

e2

．
∵x₁²∈（0，a²]，∴0≤

4c2-3a2

e2

＜a²，即4c²-3a²≥0．且e²＜1
∴e=

c

a

≥

3

2

．
故橢圓離心率的取范圍是 e∈[

3

2

，1)．
故選A．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．當P點在短軸的端點時∠F₁PF₂值最大，這個結(jié)論可以記住它．在做選擇題和填空題的時候直接拿來解決這一類的問題．