Question

【題目】在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).

（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；

（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）依據(jù)新定義，的定義域和值域都是，且在上單調(diào)，建立方程求解；（2）依據(jù)新定義，討論的單調(diào)性，列出方程求解即可。

（1）當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上是增函數(shù)，即有 ，解得 ；

同理，當(dāng)時(shí)，有，解得，綜上，。

（2）若在上是閉函數(shù)，則在上是單調(diào)函數(shù)，

①當(dāng)在上是單調(diào)增函數(shù)，則 ，解得，檢驗(yàn)符合；

②當(dāng)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得，

在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意。

故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有。