如圖，已知VC是△ABC所在平面的一條斜線，點N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB＝a，VC與AB之間的距離為h，點M∈VC.

（Ⅰ）證明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；

（Ⅱ）當(dāng)∠MDC＝∠CVN時，證明VC⊥平面AMB；

（Ⅲ）若∠MDC＝∠CVN＝θ（0＜θ＜＝，求四面體MABC的體積.

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：∵CD⊥AB，VN⊥平面ABC，AB平面ABC，∴VN⊥AB.

又∵CD∩VN＝N  ∴平面VNC⊥AB

又∵MD平面VNC  ∴MD⊥AB

∴∠MDC為二面角M－MAB－C的平面角.如圖

（Ⅱ）證明：∵VC平面VCN，∴AB⊥VC

又∵在△VCN和△CDM中，∠CVN＝∠MDC，∠VCN＝∠VCN 

∴∠DMC＝∠VNC＝90°.∴DM⊥VC

又∵AB∩DM＝D，AB、DM平面AMB 

∴VC⊥平面AMB．

（Ⅲ）解：∵MD⊥AB且MD⊥VC，∴MD為VC與AB的距離為h.

過M作ME⊥CD于E

∴VMABC＝AB·CD×ME·ah2tanθ


練習(xí)冊系列答案
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19、如圖已知VC是△ABC所在平面的一條斜線，點N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上．AB=a，VC與AB之間的距離為h，點M∈VC．
（1）證明∠MDC是二面角M-AB-C的平面角；
（2）當(dāng)∠MDC=∠CVN時，證明VC⊥平面AMB．

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如圖，已知VC是△ABC所在平面的一條斜線，點N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB＝a，VC與AB之間的距離為h，點M∈VC.

（Ⅰ）證明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；

（Ⅱ）當(dāng)∠MDC＝∠CVN時，證明VC⊥平面AMB；

（Ⅲ）若∠MDC＝∠CVN＝θ（0＜θ＜＝，求四面體MABC的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2001年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理）（解析版） 題型：解答題

如圖已知VC是△ABC所在平面的一條斜線，點N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上．AB=a，VC與AB之間的距離為h，點M∈VC．
（1）證明∠MDC是二面角M-AB-C的平面角；
（2）當(dāng)∠MDC=∠CVN時，證明VC⊥平面AMB．

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