下列四個(gè)命題:
①若0>a>b,則
1
a
1
b
;
②x>0,x+
1
x-1
的最小值為3;
③橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
比橢圓
x2
4
+
y2
2
=1
更接近于圓;
④設(shè)A,B為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn),若有|PA|+|PB|=2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓;
其中真命題的序號(hào)為
①②③
①②③
.(寫出所有真命題的序號(hào))
分析:由不等式的基本性質(zhì),可證出①是真命題;由基本不等式求最值,可得當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)x+
1
x-1
最小值為3,得②是真命題;由兩個(gè)橢圓離心率大小比較,可得③是真命題;由橢圓的定義可得④的軌跡不一定是橢圓,得到④是假命題.
解答:解:對(duì)于①,因?yàn)閎<a<0,兩邊都除以ab,得
1
a
1
b
<0

所以①是真命題;
對(duì)于②,因?yàn)閤>0,x+
1
x-1
=(x-1)+
1
x-1
+1≥2
(x-1)•
1
x-1
+1=3
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),x+
1
x-1
的最小值為3,所以②是真命題;
對(duì)于③,因?yàn)闄E圓
x2
4
+
y2
3
=1
的離心率e1=
1
2

橢圓
x2
4
+
y2
2
=1
的離心率e2=
2
2
,且
1
2
2
2

所以橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
比橢圓
x2
4
+
y2
2
=1
更接近于圓,③是真命題;
對(duì)于④,|PA|+|PB|=2,在|AB|<2的情況下,P的軌跡才是橢圓
題設(shè)中沒(méi)有|AB|<2,故④是假命題
故答案為:①②③
點(diǎn)評(píng):本題以命題真假的判斷為載體,考查了不等式的基本性質(zhì)、基本不等式求最值、橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

4、已知a、b為直線,α、β為平面.在下列四個(gè)命題中,
①若a⊥α,b⊥α,則a∥b;  ②若 a∥α,b∥α,則a∥b;
③若a⊥α,a⊥β,則α∥β;   ④若α∥b,β∥b,則α∥β.
正確命題的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列四個(gè)命題:①在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,則事件“x2+y2>1恒成立”的概率是1-
π
4
; ②從200個(gè)元素中抽取20個(gè)樣本,若采用系統(tǒng)抽樣的方法則應(yīng)分為10組,每組抽取2個(gè); ③函數(shù)f(x)關(guān)于(3,0)點(diǎn)對(duì)稱,滿足f(6+x)=f(6-x),且當(dāng)x∈[0,3]時(shí)函數(shù)為增函數(shù),則f(x)在[6,9]上為減函數(shù); ④滿足A=30°,BC=1,AB=
3
的△ABC有兩解.其中正確命題的個(gè)數(shù)為( 。
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列四個(gè)命題中
①“a2+b2=0,則a,b全為0”的逆否命題是“若a,b全不為0,則a2+b2≠0”
②“k=1”是“函數(shù)y=cos2kx-sin2kx的最小正周期為π”的充要條件;
③“a=3”是“直線ax+2y+3a=0與直線3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要條件;
④函數(shù)y=
x2+4
x2+3
的最小值為2
其中假命題的為
①②③④
①②③④
將你認(rèn)為是假命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a、b為直線,α、β為平面.在下列四個(gè)命題中,

①  若a⊥α,b⊥α,則ab ;  ②  若 a∥α,b ∥α,則ab

③  若a⊥α,a⊥β,則α∥β;   ④  若α∥b,β∥b ,則α∥β.

正確命題的個(gè)數(shù)是

  (A) 1              (B) 3              (C) 2                  (D) 0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆湖北武漢部分重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷(解析版) 題型:選擇題

直線mn和平面、.下列四個(gè)命題中,

①若m,n,則mn;

②若m,n,mn,則;

③若,m,則m

④若,m,m,則m,

其中正確命題的個(gè)數(shù)是(   )

A.0                B.1                C.2                D.3

 

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